Outils mathématiques
Langage des ensembles
∩ : intersection
∪ : union
⊂ : inclus
∈ : appartient
∅ : ensemble vide
E : Ensemble
A ⊂ E : A est un sous ensemble de E
a ∈ A : a est un élément de A
A ∩ B : éléments communs à A et à B
A ∪ B : éléments de A ou de B
A ∩ B = ∅ : A et B sont disjoints (ou incompatibles)
A ⊂ E
a ∈ A
A ∩ B : zone noire
A ∪ B : zone grise
Logique
Axiomes : Groupe de proposition déclarées vraies et non contradictoires
La logique mathématique propose des outils pour construire de nouvelles propositions et leur attribuer une valeur de vérité (vrai ou faux)
exemple :
"12 est un multiple de 3" est vraie, car 12 = 3k avec k ∈ N
"deux droites de l'espace sont sécantes ou parallèles" est fausse, car elles peuvent être coplanaires
Négation : On note ¬p
exemple :
p : "12 est un multiple de 3"
¬p : "12 n'est pas un multiple de 3"
Si p est vraie, alors ¬p est fausse.
Implication : On note ⤇
exemple :
Si ABC rectangle en A, alors AB² + AC² = BC²
La réciproque est : si AB² + AC² = BC², alors ABC est rectangle en A (q ⤇ p)
La contraposée est : Si AB² + AC² ≠ BC², alors ABC n'est pas rectangle en A (¬q ⤇ ¬p)
Si la proposition est vraie : La contraposée est toujours vraie mais la réciproque peut être fausse
Négation :
¬(p et q) = (¬p ou ¬q)
¬ (p ou q) = (¬p et ¬q)
exemple :
"Raphaël veut une voiture ou une moto"
"Raphaël ne veut pas de voiture ni de moto"
Équivalence : On note ⤄
p est vraies si q est vraie : p ⤄ q
exemple :
ABC est un triangle rectangle en A ⤄ AB² + AC² = BC²
Quantificateurs :
∀ : pour tout.. (quantificateur universel)
∃ : il existe au moins.. (quantificateur existentiel)
∃! : il existe un unique élément
/ : tel que..
exemple :
∃x∈R / x²+3x-4 = 0
car x = 1
Négation :
p : "∃x∈R / x²+3x-4 = 0"
¬p : "∀x∈R, x²+3x-4 ≠ 0"
q : ""∀x∈R, x² ≠ -1"
¬q : ∃x∈R / x² = -1"
Remarque : L'ordre des quantificateurs est important. "∀x∈R, ∃h∈R ; │f(x+h) - f(x)│ < a" n'est pas équivalent à : "∃x∈R, ∀h∈R ; │f(x+h) - f(x)│ < a"
dans la première, h peut dépendre de a ; dans la seconde non
Les différents raisonnements
Par condition nécessaire
C'est l'implication : si p est vraie, alors q est vraie
exemple :
Si a = b, alors a² = b²
Mais la réciproque est fausse : si a² = b², alors a = b ou a = -b
Si a est pair, alors a² est pair
Si a est pair, alors a = 2n donc a² = 4n² = 2(2n²) : a² est pair
Et la réciproque ? Si a² est pair, a est-il pair ?
Dans N, un carré ne peut avoir que des exposants pairs
Donc réciproque vraie.
Par condition suffisante
exemple
Si x < 0, alors 1/x < 1
pour avoir 1/x < 1 il suffit d'avoir x < 0
mais ce n'est pas nécessaire, car on peut avoir x > 1 (si x compris entre 0 et 1 par exemple)
Par équivalence
La condition est nécessaire ET suffisante
exemple :
Pour quelles valeurs de x a-t-on 1/x < 1 ?
On résout l'équation :
1/x < 1
1/x - 1 < 0 pour x ≠ 0
(1 - x) / x < 0
on fait un tableau de signes x ∈ ] -∞ ; 0 [ ∪ ] 1 ; +∞[
donc 1/x < 1 ssi ∈ ] -∞ ; 0 [ ∪ ] 1 ; +∞[
Par contre exemple
Prouver qu'un proposition est fausse
Pour prouver qu'une proposition est fausse, on prend un nombre pour lequel la proposition ne marche pas
exemple :
∀n∈N, n²-n+41 est un nombre premier
Faux, car si n=41, on obtient 41²-41+41 = 41² = 1681 (ce n'est pas un nombre entier)
Nombre entier = Nombre uniquement divisible par 1 et par lui même (1, 3, 7, 11..)
Par l'absurde
exemple :
Démontrons que √2 est un nombre irrationnel
On suppose que √2 est un nombre rationnel, ce qui implique que : ∃a∈N* et b∈N* tels que √2 = a/b
avec a et b premiers entre eux
Nombres premiers entre eux = Fraction irréductible, pas de diviseur commun
Si √2 = a/b, alors 2 = a²/b² soit a² = 2b²
a² étant un nombre pair, on en déduit que a est pair.
a et b étant premiers entre eux, b est impair, d'où b² est impair
On note a = 2n et b = 2p+1
d'où a² = 4n² et b² = 4p²+1= (2p+1)²
L'égalité a² = 2b² entraine 4n² = 2 (2p+1)² soit 2n² = (2p+1)²
Donc (2p+1)² est un nombre pair : contradiction
Notre hypothèse de départ est donc fausse,
√2 est un nombre irrationnel
Par disjonction de cas
exemple :
Démontrer que ∀n∈N, n(n+1) est pair
1er cas : Si n est pair, ∃n∈N/n = 2p d'où n(n+1) = 2p(2p+1) = 2 [p(2p+1)] donc pair
2ème cas : Si n est impair, ∃n∈N/n = 2p+1 d'où n(n+1) = (2p+1)(2p+2) = 2 [(p+1)(2p+2)] donc pair
donc ∀n∈N, n(n+1) est pair
Par récurrence
Définition : principe (axiome) de récurrence
Schéma à connaître par coeur :
Démontrons par récurrence que ∀n∈N, Pn = ....
Initialisation :
Pour n=0 (ou n=1 selon l'énoncé) :
Calculer P0 (remplacer tous les n de la formule par 0)
Donc P0 vraie
Hérédité :
Supposons Pn vraie pour un n donné
Alors écrire Pn
Démontrons alors que Pn+1 vraie :
Calculs pour obtenir le résultat
Donc Pn+1 vraie, Pn héréditaire.
Soit ∀n∈N, Pn = ....
Équations et Inéquations
Racines évidentes
exemple
x²+2x-3 = 0 admet une racine évidente x' = 1
Dans l'expression ax²+bx+c = 0, si a+b+c = 0, alors x' = -1
x²-2x-3 = 0 admet une racine évidente x' = -1
x'x'' = -b / a
x' + x'' = c / a
Donc si x' = 1, alors x'' = c / a
Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
x+y = S
xy = P
y = S - x
xy = P
y = S - x
x(S-x) = P
y = S - x
x² - Sx - P = 0
Les nombres cherchés sont les solutions de l'équation x²-Sx - p = 0
exemple
Trouver deux nombres sachant que x+y = 7 et xy = 10
on résout x²-7x+10 = 0
x = 2
y = 5
Inéquations
Un trinôme est toujours du signe de a sauf entre les racines
Soit le trinôme x²+2x-3 > 0
On a x' = 1 et x'' = -3
S = ] -∞ ; -3 [ ∪ ] 1 ; +∞[
Intervalles
intervalle fermé: [a ; b]
intervalle ouvert: ]a ; b[
intervalle ouvert centré en 0: ]-a ; a[
intervalle ouvert centré en L: ]L-a ; L+a[
Valeur absolue
Rappels :
IxI = x si x > 0
IxI = 0 si x = 0
IxI = -x si x < 0
si a > 0
IxI = a ssi Ix-0I = a ssi d(x;0) = a
IxI = a ssi (x=a ou x=-a)
IxI < a ssi -a < x < a
IxI > a ssi x > a ou x < -a
exemples
I-2I = 2
I1-√3I = √3-1
Ix-2I = 5 ssi (x-2 = 5 ou x-2 = -5) ssi x = 7 ou x = -3
graphiquement en terme de distance : d(x;2) = 5
Ix-2I < 5 ssi -5 < x-2 < 5 ssi -3 < x < 7
(x-a) = d(x;a)
(x+a) = d(x;-a)
