Suites numériques
Définitions -
Une suite numérique réelle est une fonction de N (ou d'une partie de N) dans R
Exemple
Un = (3n + 2)(n + 5)
Un est définie par une fonction de n
Un est une suite arithmétique ssi il existe un réel r tel que ∀n∈N, Un+1 = Un + r (r est la raison)
Propriété :
∀n∈N,
Un = U0 + nr
Un = Uk + (n-k)r
Sn = [(premier terme + dernier terme) x nombre de termes] / 2
Vn est une suite géométrique ssi il existe un réel q tel que ∀n∈N, Vn+1 = q x Vn (q est la raison)
Propriété :
∀n∈N,
Vn = V0 x q^n
Vn = Vk x q^(n-k)
Sn = premier terme x [1 - q^(nombre de termes)] / 1 - q
Notion de limites -
Que devient Un quand n prend une très grande valeur ? Quand n tend vers +∞ ?
Étudier la limite d'une suite (Un) c'est examiner le comportement des termes Un lorsque n tend vers +∞
Exemple
Un = 1 / n → les termes s'accumulent près de 0
Un = n² → les termes sont de plus en plus grands
On dit que la suite (Un) converge vers un réel L lorsque n tend vers +∞ ssi tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite (Un) est convergente en L. On écrit lim Un = L
Dans ce cas, L est unique
On dit que la suite Un tend vers lorsque n tend vers +∞ ssi tout intervalle de la forme ] A ; +∞[ avec (A > 0) contient tous les termes Un à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est divergente ; on écrit lim Un = +∞
Quand une suite n'a pas de limites, on dit aussi qu'elle diverge
On dit que la suite Un tend vers -∞ lorsque n tend vers +∞ ssi tout intervalles la forme ] -∞ ; A [ (avec A < 0) contient tous les termes Un à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est divergente.
On écrit alors lim Un = -∞
Propriétés limites usuelles :
lim n = +∞
lim n² = +∞
lim √n = +∞
lim 1/n = 0
lim 1/n² = 0
lim 1/√n = 0
lim n^k = +∞
lim 1/n^k = 0
Opérations sur les limites -
La limite d'une somme c'est la somme des limites (sauf +∞-∞)
Un = n+3 et Vn = -n
Un + Vn = 3
Un = n+3 et Vn = -2n-3
Un + Vn = -n
Un = 2n+3 et Vn = -n-3
Un + Vn = n
La limite d'un produit c'est le produit des limites (sauf 0 x +∞)
Un = 1/n et Vn = n²
VnUn = n
Un = 1/n² et Vn = n
UnVn = 1/n
Un = 1/n² et Vn = 3n²
UnVn = 3
La limite d'un quotient c'est le quotient des limites (sauf 0/0 ou ∞/∞)
Un = n² et Vn = n
Un/Vn = n
Un = n et Vn = n²
Un/Vn = 1/n
Un = 2n² et Vn = n²
Un/Vn = 2
Limites et comparaison -
Théorème de comparaison :
Si, à partir d'un certain rang, Vn > Un et si lim Un = +∞, alors lim Vn = +∞
Si, à partir d'un certain rang, Vn < Un et si lim Un = -∞ alors lim Vn = -∞
Théorème des gendarmes :
Si, à partir d'un certain rang, Wn < Un < Vn et si lim Wn = L et lim Vn = L
Alors lim Un = L
Sens de variations -
Définitions :
Un est croissante ssi ∀n∈N, Un+1 - Un > 0
Un est décroissante ssi ∀n∈N, Un+1 - Un < 0
Un est constante ssi ∀n∈N, Un+1 - Un = 0
Un est monotone ssi son sens de variation ne change pas
Remarque :
Si Un = f(n), (Un) a le même sens de variation de f : on calculera f'
Si f' > 0, Un croissante
Si f' < 0, Un décroissante
Définitions :
Un est positive ssi ∀n∈N, Un ≥ 0
Remarque :
Un croissante ssi Un+1 / Un > 1
Un décroissante ssi Un+1 / Un < 1
Suites bornées -
(Un) est majorée ssi il existe un réel M tel que ∀n∈N, Un < M
(Un) est minorée ssi il existe un réel m tel que ∀n∈N, Un > m
(Un) est bornée ssi elle est majorée et minorée
Un = n² → ∀n∈N, Un > 0 : (Un) minorée
Un = 1/n → ∀n∈N, 0 < Un < 1 : (Un) bornée
Convergence des suites arithmétiques et géométriques -
Théorème : Soit U une suite arithmétique de premier terme U0 et de raison r.
U a pour limite :
+∞ si r > 0
-∞ si r < 0
car Un = U0 + nr
Théorème : Soit U une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q
U a pour limite :
+∞ si q > 1 et U0 > 0
-∞ si q > 1 et U0 < 0
0 si -1 < q < 1
pas de limite si q < -1
Démonstration :
U géométrique donc Un = U0 x q^n avec U0 > 0
q > 1 donc on peut écrire q = 1 + a avec a > 0 et on a q^n = (1+a)^n
On a donc démontré par récurrence que (1+a)^n > 1 + na (Inégalité de Bernoulli)
or la limite de 1 + na = +∞
Théorème de comparaison : lim Un = +∞
Exemple
(Un) est définie par Un = - 3 + 7n
Soit U0 = 7x0 - 3 = -3
Un est de la forme Un = U0 + rn, Un arithmétique
lim Un = lim 7n - 3 = +∞
On donne V0 = -3/2 pour n∈N
Vn+1 = 2/3(Vn) - 1
Wn = 2(Vn) + 6
Démontrer que Wn suite arithmétique, soit que Wn+1 = Wn x q
Wn+1 = 2(Vn+1) + 6 = 2 [2/3(Vn) - 1] + 6 = 4/3(Vn) + 4 = 2/3 [2 (Vn) + 6] = 2/3(Wn)
Wn arithmétique de raison q = 2/3 et de premier terme W0 = 3
Étudier la convergence de (Wn) et de (Vn)
On a Wn arithmétique d'où Wn = W0 x (2/3)^n = 3 x (2/3)^n
Or Wn = 2Vn + 6
Vn = (Wn - 6) / 2 = [3 x (2/3)^n - 6] / 2
lim Vn = -3
Convergence des suites monotones (toujours croissante, toujours décroissante, toujours constante)
Théorème : Soit U une suite croissante qui converge vers L, alors ∀n∈N, Un < L
Demonstration par l'absurde :
Supposons qu'il existe p tel que Up > L
U croissante, donc ∀n > p, Un > Up
L > L-1 et L < Up donc L ∈ ] L-1 ; Up [, comme U converge vers L, cet intervalle doit contenir tous les termes Un à partir d'un certain rang ; or on a ∀n > p, Un > Up, ce qui est absurde.
Donc ∀n∈N, Un < L
On a de même : Soit U une suite décroissante qui converge vers L, alors ∀n∈N, Un > L
Théorème :
Toute suite croissante non majorée tend vers +∞
Toute suite décroissante non minorée tend vers -∞
