Étude de fonctions

Définitions :

Une fonction est une relation qui associe à un nombre réel x, zéro ou un autre nombre réel y. Elle s'écrit sous le forme f(x) = 0 ou f(x) = y

Un ensemble de définition D d'une fonction f est l'ensemble des valeurs réelles pour lesquelles f admet une image.

• f(x) = 3x - 2 D = IR

• f(x) = 1 / x - 1 D = IR - { 1 }

On appelle f(x) l'image du réel x et on appelle antécédent de y tout x appartenant à D tel que f(x) = y. (Pour toute fonction f, un nombre ne peut avoir qu'une seule image mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents.)

Soit f(x) = 2x² - 4 :

• l'image de 0 est f(0) = 2 x 0 -4 = -4

• les antécédents de -2 sont f(x) = 2x² - 4 = 2 d'où S = { 1 ; -1 }

Sens de variations :

Soit f définie sur D,

• f est croissante ssi pour tous réels a et b tels que a < b, on a f(a) < f(b)

• f est décroissante ssi pour tous réels tels que a < b, on a f(a) > f(b)

On résume les variations d'une fonctions dans un tableau de variations.

Exemple : Soit f(x) = x² avec D = IR

On a le tableau de variations suivant :

Représentation graphique :

Soit f une fonction définie sur D. L'ensemble des points M de coordonées ( x ; y ) avec x appartenant a D est appelée une courbe représentative de la fonction f.

Exemple : Soit f(x) = 1 / x On a D = IR - { 0 }, 0 n'a pas d'image.

On peut facilement lire les images et antécédents d'un point.

• f(1) = 1

• f(2) = 0.5

• f(4) = 0.25

Fonctions particulières :

1 - Fonction racine carrée

Soit f définie sur [0 ; +∞ ] par f(x) = √x , c'est une fonction carrée

Son tableau de variation :

Sa représentation graphique :

2 - Fonction valeur absolue

Soit f une fonction définie que ] -∞ ; + ∞ [ par f(x) = |x|

son tableau de variations :

Sa représentation graphique :